جواب کاردرکلاس صفحه 68 ریاضی و آمار دهم انسانی

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ تعیین رأس و رسم سهمی صفحه 68 ریاضی دهم انسانی سلام دانش‌آموزان خوب! این تابع درجه دوم به **فرم رأس** نوشته شده است، که ساده‌ترین راه برای پیدا کردن رأس و رسم نمودار را فراهم می‌کند. ### گام ۱: تعیین رأس سهمی **فرم رأس:** $\mathbf{y = a(x - h)^2 + k}$ * $\mathbf{(h, k)}$ مختصات رأس سهمی است. * **معادله‌ی ما:** $\mathbf{y = 2(x - 1)^2 + 1}$ با مقایسه با فرم رأس، داریم: * $\mathbf{h = 1}$ (انتقال افقی به راست) * $\mathbf{k = 1}$ (انتقال عمودی به بالا) * $\mathbf{a = 2}$ (دهانه رو به بالا و تنگ‌تر از $\mathbf{y = x^2}$) $$\mathbf{\text{رأس سهمی: } (1, 1)}$$ ### گام ۲: رسم نمودار سهمی برای رسم دقیق‌تر، چند نقطه‌ی دیگر حول رأس را نیز محاسبه می‌کنیم: 1. **رأس:** $\mathbf{(1, 1)}$ 2. **اگر $\mathbf{x = 0}$:** (نقطه‌ی برخورد با محور $\mathbf{y}$) $$\mathbf{y = 2(0 - 1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3}$$ **نقطه:** $\mathbf{(0, 3)}$ 3. **اگر $\mathbf{x = 2}$:** (نقطه‌ی متقارن $\mathbf{x=0}$ نسبت به محور تقارن $\mathbf{x=1}$) $$\mathbf{y = 2(2 - 1)^2 + 1 = 2(1) + 1 = 3}$$ **نقطه:** $\mathbf{(2, 3)}$ 4. **اگر $\mathbf{x = -1}$:** $$\mathbf{y = 2(-1 - 1)^2 + 1 = 2(-2)^2 + 1 = 2(4) + 1 = 9}$$ **نقطه:** $\mathbf{(-1, 9)}$ **ترسیم:** * نقطه‌ی $\mathbf{(1, 1)}$ را به عنوان رأس مشخص کنید. * نقاط $\mathbf{(0, 3)}$ و $\mathbf{(2, 3)}$ را مشخص کنید. * منحنی سهمی را که دهانه‌ی آن رو به بالا است و از این نقاط می‌گذرد، رسم کنید. **برد تابع:** $\mathbf{R_f = [1, +\infty)}$ (چون رأس پایین‌ترین نقطه در $\mathbf{y=1}$ است.)

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ تکمیل جدول و رسم سهمی صفحه 68 ریاضی دهم انسانی این سهمی نیز به **فرم رأس** نوشته شده است. ضریب $\mathbf{a = -\frac{1}{2}}$ به ما می‌گوید که دهانه‌ی سهمی **رو به پایین** باز می‌شود و از $\mathbf{y = x^2}$ **پهن‌تر** است. ### گام ۱: تعیین رأس و محور تقارن * **معادله:** $\mathbf{y = -\frac{1}{2}(x - (-2))^2 + 5}$ * **رأس سهمی ($athbf{h, k}$):** $\mathbf{(-2, 5)}$ (نقطه‌ی بیشینه) * **محور تقارن:** $\mathbf{x = -2}$ ### گام ۲: تکمیل جدول **توجه:** از آنجا که $\mathbf{x = -2}$ محور تقارن است، مقادیر $\mathbf{x}$ که به یک اندازه از $\mathbf{-2}$ فاصله دارند، $\mathbf{y}$های یکسانی خواهند داشت. 1. **$\mathbf{x = -2}$:** $\mathbf{y = -\frac{1}{2}(-2 + 2)^2 + 5 = 5}$ (درست است) 2. **$\mathbf{x = -1}$ و $\mathbf{x = -3}$:** (فاصله $\mathbf{1}$ واحدی از رأس) $$\mathbf{y = -\frac{1}{2}(-1 + 2)^2 + 5 = -\frac{1}{2}(1) + 5 = 4.5}$$ $$\mathbf{y = -\frac{1}{2}(-3 + 2)^2 + 5 = -\frac{1}{2}(1) + 5 = 4.5}$$ 3. **$\mathbf{x = 0}$ و $\mathbf{x = -4}$:** (فاصله $\mathbf{2}$ واحدی از رأس) $$\mathbf{y = -\frac{1}{2}(0 + 2)^2 + 5 = -\frac{1}{2}(4) + 5 = -2 + 5 = 3}$$ $$\mathbf{y = -\frac{1}{2}(-4 + 2)^2 + 5 = -\frac{1}{2}(4) + 5 = 3}$$ 4. **$\mathbf{x = 1}$ و $\mathbf{x = -5}$:** (فاصله $\mathbf{3}$ واحدی از رأس) $$\mathbf{y = -\frac{1}{2}(1 + 2)^2 + 5 = -\frac{1}{2}(9) + 5 = -4.5 + 5 = 0.5}$$ $$\mathbf{y = -\frac{1}{2}(-5 + 2)^2 + 5 = -\frac{1}{2}(9) + 5 = 0.5}$$ **جدول کامل شده:** | $\mathbf{x}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{-5}$ | $\mathbf{-4}$ | $\mathbf{-3}$ | $\mathbf{-2}$ | $\mathbf{-1}$ | $\mathbf{0}$ | $\mathbf{1}$ | $\mathbf{\dots}$ | | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | :---: | | $\mathbf{y}$ | $\mathbf{\dots}$ | $\mathbf{0.5}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{4.5}$ | $\mathbf{5}$ | $\mathbf{4.5}$ | $\mathbf{3}$ | $\mathbf{0.5}$ | $\mathbf{\dots}$ | ### گام ۳: رسم نمودار 1. **رأس:** نقطه‌ی $\mathbf{(-2, 5)}$ را مشخص کنید. 2. **نقاط مهم:** نقاط $\mathbf{(-1, 4.5)}$ و $\mathbf{(-3, 4.5)}$ و $\mathbf{(0, 3)}$ و $\mathbf{(-4, 3)}$ را مشخص کنید. 3. **رسم:** منحنی سهمی را که دهانه‌ی آن رو به پایین باز می‌شود، از این نقاط عبور دهید. **برد تابع:** $\mathbf{R_f = (-\infty, 5]}$ (چون رأس بالاترین نقطه در $\mathbf{y=5}$ است.)